How many terms of the arithmetic progression 3,7,11, ______ should be taken to make its sum equals to 820 ?

Created: 10 months ago | Updated: 2 days ago

Updated: 2 days ago

ক

10
খ

15
গ

20
ঘ

25

392

ব্যাখ্যাঃ

একটি পাটিগণিতীয় ধারা (Arithmetic Progression) হলো এমন একটি অনুক্রম, যেখানে পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য সর্বদা একই থাকে। এই স্থির পার্থক্যকে সাধারণ অন্তর (common difference) বলা হয়।

একটি পাটিগণিতীয় ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারণ অন্তর $d$ এবং পদসংখ্যা $n$ হলে, প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি ($S_n$) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \]

প্রদত্ত সমস্যা অনুযায়ী:

ধারার প্রথম পদ, $a = 3$
ধারার পদগুলো হলো: 3, 7, 11, ...
সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 3 = 4$
পদসমূহের সমষ্টি, $S_n = 820$

আমাদেরকে পদসংখ্যা $n$ নির্ণয় করতে হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

উপরোক্ত সূত্রে প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[ 820 = \frac{n}{2}[2(3) + (n-1)4] \]

\[ 820 = \frac{n}{2}[6 + 4n - 4] \]

\[ 820 = \frac{n}{2}[4n + 2] \]

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ 1640 = n(4n + 2) \]

\[ 1640 = 4n^2 + 2n \]

সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে পাই:

\[ 4n^2 + 2n - 1640 = 0 \]

সমীকরণটিকে 2 দ্বারা ভাগ করে সরল করে পাই:

\[ 2n^2 + n - 820 = 0 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $Ax^2 + Bx + C = 0$ আকারের, যেখানে $A=2$, $B=1$, $C=-820$। দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র $n = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ ব্যবহার করে পাই:

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-820)}}{2(2)} \]

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 6560}}{4} \]

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{6561}}{4} \]

আমরা জানি, $\sqrt{6561} = 81$।

\[ n = \frac{-1 \pm 81}{4} \]

$n$ এর দুটি সম্ভাব্য মান:

১. $n = \frac{-1 + 81}{4} = \frac{80}{4} = 20$

২. $n = \frac{-1 - 81}{4} = \frac{-82}{4} = -20.5$

যেহেতু পদের সংখ্যা ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই আমরা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা মানটি গ্রহণ করব।

সুতরাং, পদসংখ্যা $n = 20$।

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন যাচাই):

প্রদত্ত অপশনগুলো থেকে $n$ এর মান নিয়ে সমষ্টির সূত্রে বসিয়ে সহজেই সঠিক উত্তরটি বের করা যায়।

ধরা যাক, $n = 20$ (অপশন 3)।

প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অন্তর, $d = 4$

$S_{20} = \frac{20}{2}[2(3) + (20-1)4]$

$S_{20} = 10[6 + 19 \times 4]$

$S_{20} = 10[6 + 76]$

$S_{20} = 10[82]$

$S_{20} = 820$

যেহেতু $S_{20} = 820$, যা প্রশ্নের দেওয়া সমষ্টির সমান, তাই $n=20$ সঠিক উত্তর।

Satt AI

1 month ago

MCQ: 399 CQ: 51

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$